Фокус: угадай число!

 Сегодня хочу предложить  один несложный фокус, правда, для него понадобится немного заранее подготовится. А именно - приготовить карточки с числами. На них написаны числа от 1 до 100 (можно и больше или меньше, после объяснения фокуса Вы поймёте, почему). Карточки вот такие:

Всего семь карточек. На первой написаны все нечётные числа от 1 до 99. Вторая начинается с 2, в ней пишутся два числа подряд, потом два пропускаются, и т. д. Третья начинается с 4, в ней пишутся четыре числа подряд, потом четыре пропускаются, и т. д. Думаю, вы поняли закономерность. Каждая последующая карточка начинается с числа, в два раза больше первого числа на предыдущей. Можно взять максимальное число больше или меньше 100. Тогда количество карточек может получится другим. Надеюсь, Вы поняли принцип. С точки зрения математики самыми удобными максимальными числами для этого являются такие: 2ⁿ-1. То есть, 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, и т. д. Тогда не будет пустых клеток, как на карточках выше.

Теперь перейдём к самому фокусу. Вы предлагаете тому, кому Вы его демонстрируете, загадать число от 1 до 100. Затем даёте ему карточки и просите, чтобы он вернул Вам только те, на которых есть его загаданное число. После этого Вы называете загаданное число. Находится число очень просто: нужно просто сложить первые числа на карточках, которые Вам вернули. Если Вы хорошо считаете в уме, то объявить загаданное число можно практически мгновенно. Пока Ваш друг ищет глазами своё число на очередной карточке, Вы уже можете сложить первые числа тех табличек, которые он уже вернул Вам. Когда он подаст последнюю, Вам останется выполнить только одну операцию сложения в уме :) Я уже не раз показывал этот фокус моим друзьям - всем он очень нравится! Попробуйте и Вы!

Те, кто получше разбирается в математике, наверняка уже поняли, в чём секрет этого фокуса. Дело в том, что любое число можно представить в виде суммы степеней числа 2. Именно этот факт и использован здесь.

Классный фокус с числами

1. Возьмите два листа бумаги и на одном из них напишите пятизначное число, которое начинается с двойки. Например 23954.

Напишите 5-значное число

2. Накройте лист с пятизначным числом чистым листом сверху. Пригласите друга, которому Вы будете показывать фокус. При нём на верхнем чистом листе напишите как-будто бы любое случайное четырёхзначное число. На самом деле, Вы должны написать следующее: нужно взять число из п. 1, отбросить первую двойку и к получившемуся четырёхзначному числу прибавить два - результат как раз нужно написать. В моём примере - это 3956.

Напишите 4-значное число

3. Попросите, чтобы друг под Вашим числом написал своё любое число - тоже четырёхзначное. Например, он напишет 8307.

Число Вашего друга

4. Теперь под числом друга напишите своё, якобы тоже любое. На самом деле, Вам нужно написать число, цифры которого должны дополнять соответствующие разряды из числа Вашего друга до девятки. То есть, если друг написал 8307, то Вы должны написать 1692. Если друг написал число, начинающееся с 9, то Вы пишите трёхзначное число. Скажите: "Что-то ты, друг, больно большое число написал, я тогда напишу трёхзначное!" :)

Ваше число

5 и 6 - повторите пункты 3 и 4. Например, друг написал 9381, а Вы - 618

Ещё два числа

7. Теперь скажите другу: "А сейчас я быстро сосчитаю сумму этих чисел." Пишите число из п. 1 - у Вас будет гарантированно правильный результат.

Пишите сумму

8. Самая эффектная часть! )) Вы сдвигаете верхний лист вниз (или в сторону), и Ваш друг видит, что на нижнем листе написано число, которое совпадает с суммой на верхнем листе!

Сдвигаете верхний лист вниз. Бинго!

Вот такой простой фокус. А как он объясняется с математической точки зрения, попробуйте догадаться сами. Если сделаете это, то поймёте, что можно использовать не только четырёхзначные числа, но и с большим количеством знаков (и с меньшим, кстати, тоже :)) Также, можно увеличить количество пунктов повторений (итераций).

Попробуйте показать этот фокус своим друзьям! Им понравится!

О способе, позволяющем быстро проверить правильность суммы

 Это бывает иногда полезно, когда складываешь несколько больших чисел, а потом возникают сомнения, правильный ли результат получился.

Допустим, требуется сложить следующие числа: 12674; 76934; 49520; 81037, т. е. совершенно случайные:

Сумма равна 220165

Теперь мы хотим проверить, а правильно ли сделаны вычисления. Можно, конечно, ещё раз перепроверить все промежуточные результаты по каждому из разрядов, но проще проверку сделать так.

Нужно у всех четырёх слагаемых просуммировать цифры. Если результат получается двузначным (или больше), то нужно ещё раз сложить цифры, чтобы в результате получилось однозначное число. И ещё хитрость: девятки, а также числа, дающие в сумме девять, можно сразу вычеркнуть из суммирования. Почему? Потому что 9 не влияет на конечный результат (например, у числа 19 конечный результат суммирования цифр 1+9=10; 1+0=1. А можно в числе 19 вычеркнуть 9 и сразу получить 1 - конечный результат).

Для нашего примера это будет выглядеть так:

Суммируем цифры

Мы сразу вычеркнули все девятки и цифры, дающие в сумме девять. Замечу, что вычёркивать цифры, дающие в сумме девять, можно и в разных числах. Например, если заметили тройку и шестёрку в разных слагаемых, то их также смело вычёркивайте. В общем, в конце должно остаться однозначное число.

Теперь то же самое нужно сделать и для результата проверяемой суммы:

Та же семёрка

Как видим, результат получился такой же: 7. Значит, суммирование выполнено верно.

Конечно, возможна ситуация, когда результат суммирования получился неправильным и отличается от правильного на 9 или на число, кратное 9. Но, на самом деле, такая вероятность крайне мала. Обычно, ошибки возникают, когда мы при вычислении переходим через десяток и забываем добавить единицу к старшему разряду. Или, переходя к следующему разряду, забываем прибавить то, что "в уме". Но в этих случаях, обычно, девятки не фигурируют. 

Как быстро складывать и вычитать в уме?

 Конечно, в современном мире такая потребность практически отпала. С приходом в нашу повседневную жизнь калькуляторов, компьютеров, смартфонов арифметические операции даже с большими числами занимают считанные секунды. Всё что нужно - это включить калькулятор и нажать несколько кнопок. Но, всё-таки, изредка требуется что-то посчитать и самому в уме. Сегодня хочу поделиться с Вами простыми приёмами для быстрых расчётов. Рассмотрим основные арифметические операции: сложение и вычитание. Если Вам будет интересно, то в одной из следующих статей я могу рассказать, как сравнительно быстро извлекать квадратные корни, а ещё складывать и вычитать дроби.

Сможете быстро сосчитать в уме?

Сложение. Со сложением однозначных чисел проблем нет, с двузначными чуть сложнее, хотя для большинства - это тоже не проблема. С бóльшими числами могут возникнуть сложности. Попробуем решить пример: 745+879. Если есть листок и ручка под рукой, то можно быстро сложить столбиком - этот простой метод изучается ещё в начальной школе и остаётся с нами как полезный навык на всю жизнь.

745+879=1624, сложение столбиком

Надеюсь, все помнят этот способ сложения? :) Складываем по-очереди все разряды, начиная с единиц. Но это на листочке.

Если же Вы складываете в уме, то быстрее это сделать так. Разбиваем числа на разряды: 745=700+40+5; 879=800+70+9. И дальше складываем, начиная с сотен: 700+800=1500; затем складываем десятки: 40+70=110; после этого результат сложения сотен и десятков складываем вместе: 1500+110=1610; дальше складываем единицы: 5+9=14; и снова складываем результаты сложения единиц с предыдущей суммой: 1610+14=1624. На самом деле, дольше всё описывать, чем это провернуть в уме. Попробуйте сами - это очень простой и эффективный способ!

745+879=1624, сложение в уме

Вычитание. Напоминать, как производится вычитание столбиком, думаю, не стоит - всё аналогично сложению. А с вычитанием в уме ещё проще, чем со сложением, ведь на разряды нужно разбивать только одно число - вычитаемое. При вычитании, например, 638 из 926, разбиваем на разряды только 638, т. е. 638=600+30+8. Теперь по-порядку вычитаем: 926-600=326; 326-30=296; 296-8=288. Вот так просто! Немного тренировки - и всё получится.

926-638=288, вычитание в уме

Конечно, нет никаких волшебных методов для быстрых операций в уме, и я не открыла Америку. Лишь показала Вам простоту этого метода. В любом случае, нужна тренировка. Но если регулярно в этом упражняться, то вычисления будут занимать очень малое время. И ещё: это даёт для мозга очень хорошее развитие. Считайте в уме, реже пользуйтесь калькулятором!

Этому не учат в школе. Способ умножения крупных чисел

Этот вариант умножения понравится тем, кто привык действовать нестандартно. А главное — он намного проще, чем умножение «в столбик».

Наверняка, каждому приходится в быту сталкиваться с умножением крупных чисел между собой. Если под рукой нет калькулятора, а вам необходимо проверить ответ — этот способ вам обязательно пригодится.

Рассмотрим сперва пример, в котором необходимо найти произведение двух крупных двузначных чисел 99 и 83. Мы исходим из того, что знаем — произведение этих чисел будет четырехзначным числом.

Итог расчета не изменится, если представить это выражение в виде произведения разностей чисел (100-1) и (100-17).

Найдем первые две цифры нашего результата вычитанием из противоположных множителей чисел, недостающих до 100, как показано на картинке. В нашем случае это число 82.

Третье и последнее наше действие — перемножаем недостающие числа из наших скобок. В рассматриваемом случае это 1 и 17. Полученный итог записываем в оставшиеся пустые места.

Можете проверить на калькуляторе — 99х83=8217.

Для примера разберем еще одно произведение, но с более крупными числами: 9984х9999.

Вот такая повседневная математика.

Альтернативный «крестьянский» способ умножения чисел

Этот метод умножения существенно отличается от привычного для нас умножения «в столбик».

Мне доподлинно неизвестно, почему этот метод называется «крестьянским». Может быть им и действительно умножали крестьяне. А возможно, он более прост в использовании и поэтому получил такое название.

От слов — к делу. Рассмотрим пример, в котором нам нужно получить произведение чисел 47 и 35. Запишем их в следующем виде:

Далее будем последовательно делить первый множитель (47) на 2, а второй множитель (35) умножать на 2. Причем, когда у нас при делении будет попадаться число с остатком 1 — мы будем отбрасывать единицу.

После этого, нам нужно просуммировать все числа из правого столбца, которые соответствуют нечетным числам из левого:

Пересчитав числа на калькуляторе, мы можем удостоверится, что посчитали верно:

Важно понимать, что окончательный ответ не отличается при перестановке местами множителей, в чем можно убедиться исходя из следующего примера:

Вот такая повседневная математика.

Как учат математике в американской школе?

Работа с дробями

Для нас привычным считается выполнение решения задачи на сложение(и других действий) дробей в линию, как на рисунке:

В школах США применяют несколько другой подход, кажущийся на первый взгляд слегка громоздким. Для решения такого же примера применяется специальная схема:

В первом поле пишется условие примера (так называемая «проблема»). Во втором поле ученик находит то, что у нас принято называть наименьшее общее кратное, после чего он отмечает, как нужно преобразить дробь. В третьем поле начинается преобразование, а затем выполнение действий над дробями. После этого, в последнем, четвертом, поле выполняется «доработка» ответа — выделение целой части (если необходимо) и сокращение дроби.

Выполнение действий

Интересный и по-своему нестандартный вид имеет выполнение различных действий. Предположим, нам нужно получить ответ на пример:

12 + (18 - 8) : 2 - 4

В отечественных школах детей учат сначала расставлять очередность действий, после чего поэтапно выполнять их, в результате чего получается окончательный ответ:

За океаном же действуют снова-таки по иному. Детей также учат понимать порядок выполнения действий, но эти же действия они выполняют, поэтапно «перетаскивая» весь пример:

Нельзя однозначно утверждать какой из способов лучше, но, во всяком случае, интересно наблюдать за альтернативными подходами в обучении школьников из других стран.

Вот такая повседневная математика.

Финский метод умножения чисел

Учеников финских школ ,кроме привычного умножения «в столбик», учат также вот такому интересному способу

На первый взгляд может показаться, что такой способ умножения достаточно громоздкий, но в действительности же он намного проще привычного для нас «столбика»

Допустим, нам нужно перемножить числа 314 и 7. Вычисление в столбик будет выглядеть следующим образом:

Теперь представим это же вычисление с помощью финского способа. Вверху запишем первый множитель, а справа второй

Теперь наша задача — перемножить отдельный цифры чисел и записать их в соответствующие квадраты:

После выполнения всех действий получится следующая конструкция:

Последнее действие — просуммировать все числа по диагональным рядам и написать окончательный результат:

С первого взгляда может показаться, что такой способ действительно громоздкий, но в действительности же он значительно упрощает и наглядно показывает вычисления с более крупными числами:

Вот такая повседневная математика.